在粒子物理学的数学中，每个计算都应该产生无穷大。物理学家通过忽略方程的某些部分来解决这个问题——这种方法提供了近似的答案。但是通过使用被称为“复苏”的技术，研究人员希望结束无穷大并最终得到完全精确的预测。

修复量子理论核心致命缺陷的秘诀可能在于年代的三本晦涩难懂的教科书。但物理学家忽视其中潜在的变革性想法是可以原谅的，因为这些书卷同时显得业余和令人生畏。

让·埃卡勒（Jeanécalle）的巨著现存的少数实体副本看起来只不过是光荣的影印本。用厚厚的黑色墨水潦草地写的超大数学符号经常打断整齐的句子。该文本也是用法语写的，这对英语世界的研究人员来说很不便。

数学本身构成了另一个障碍。三部曲的1，页充满了原始的数学对象和奇异的硬币。像“跨系列”、“可分析细菌”、“外星派生”和“加速求和”这样听起来很奇怪的术语比比皆是。

“如果你第一次看这个，但你没有仔细阅读它，你可能会认为这是一个写一些疯狂东西的骗子，”日内瓦大学数学物理学家马科斯·马里尼奥（MarcosMari?o）说，他把他所谓的“历史文件”放在书架上，每天使用埃卡勒开发的工具。“当然不是。他是这些有远见的数学家之一。

他富有远见的数学可能正是克服深刻的概念尴尬所需要的——物理学家在过去70年里或多或少地忽视了这种尴尬。在那段时间里，物理学家已经学会了对亚原子世界做出惊人的准确预测。但这些预测，尽管可能很精确，但都是近似值。如果人们寻求绝对的精确性，教科书上的量子理论就会崩溃并产生无限的答案——许多物理学家认为这些荒谬的结果是数学垃圾。

通过研究埃卡勒的老式教科书，物理学家开始怀疑这些无限的答案包含着无数的宝藏，并且，只要付出足够的努力，他开发的数学工具应该让他们接受任何无限，并挖掘出任何量子问题的有限和完美的答案。

“事实上，在许多情况下，它的效果非常漂亮”，研究这种策略的物理学家MarcoSerone说，这种策略被称为“复兴”。“在某个时候，这个过程结束了，你眼前的就是你最初问题的确切解决方案。

复兴社区很小，但多年来取得了稳步进展。该技术的原型版本在量子力学中获得了精确的结果，该结果将自身限制在粒子的行为上。更复杂的化身使一些物理学家能够进一步冒险进入量子场论的浑水，以及最近的弦理论。但这只是复兴修行者怀有大梦想的开始。他们的目标无非是物理理论中思考无穷大的新方法——一种在理论上更符合我们有限世界的方式，也许在实践中也是如此。

量子场论——像电子这样的粒子在潜在的量子场中实际上是持续的涟漪——迫使战后物理学家直面无限。

这些量子场是难以想象的复杂野兽——瞬态涟漪和相干波搅动着看似空旷的空间。原则上，这些流逝的涟漪可以在任何时刻、任何数量和任何能量中出现——挑战物理学家解释无休止的亚原子混合阵列，以便理解即使是简单实验的精确结果。

在年代，ShinichirōTomonaga，JulianSchwinger和RichardFeynman都研究了从量子电磁场的无限复杂性中获得有限答案的等效方法。在今天费曼的演讲中，最广为人知的是，该计算采用了无限串“费曼图”的形式，代表了越来越多的拜占庭量子可能性。你从最简单的事件（比如说，一个在太空中移动的电子）的图表开始，并计算一些可测量的属性，比如电子在磁场中的摆动程度。接下来，您将添加来自更复杂的场景的结果，例如电子短暂地排出然后重新吸收光子。然后，你添加涉及两个瞬态涟漪的亚原子戏剧，然后是三个，依此类推，这是一种广泛使用的数学技术，称为扰动理论。

在纸面上，对这个属性的计算创建了一个永无止境的“幂级数”：一个涉及某个临界值的方程，我们称之为x，然后是x的平方，x的立方，以及x的越来越高的幂，所有这些都乘以不同的系数：

F（x）=a0+一个1x+a2x2+一个x+...+a1,,x1,,+....

对于电磁场，x的值是自然界的关键常数alpha，接近1/17。这是一个适合部队相对弱点的少数数字，将这个微小的数字提高到更大的权力会使条款迅速缩小。

费曼图为物理学家提供了每个项的系数——a——这是难以计算的部分。以电子的“g因子”为例，这是一个与粒子在磁场中摆动方式相关的数字。最简单的费曼图给你一个0，正好等于2。但是，如果你考虑一个稍微复杂的费曼图，第一个临时涟漪弹出，你需要计算一个1术语，这就是无限抬头的地方。Tomonaga，Schwinger和Feynman找到了一种方法来使这个术语有限。他们对电子g因子的计算约为2.，与那一代人的实验测量结果相匹配，证明了量子场论是有意义的，并为他们三人赢得了年的诺贝尔物理学奖。

他们的方法也开启了一个新时代，物理学家必须攀登越来越高的费曼图山，以便计算更多的a。那些山变得陡峭而快速。年，一位物理学家完成了二十年的爱心劳动，精确计算了电子的g因子，需要从个费曼图中计算出毛茸茸的方程。结果显示，这只是该系列的第五个学期。

费曼图在现代物理学中仍然至关重要。年，一系列类似但更复杂的电子表亲μ子的计算成为头条新闻。一项实验揭示了与理论预测的八分之八的差异。这种适度的异常现象代表了看到费曼及其同事工作所孕育的高耸大厦之外的东西的最佳希望之一。

但是这一系列的实验胜利掩盖了一个事实，即在内心深处，这种接近量子场论的方式根本行不通。

战后的另一位先驱弗里曼·戴森（FreemanDyson）是第一位认识到扰动量子理论可能注定要失败的物理学家。那一年是年，当其他人在庆祝费曼幂级数的前几个术语可以变得小而有限时，戴森正在担心该级数的其余部分。

物理学家天真地希望费曼图对电磁场的处理会变成数学家所说的“收敛”。在收敛级数中，每个后续项都比前一项小得多，并且项越多，总和收敛到单个有限数就越多。相比之下，序列也可以是“发散的”——较晚的项比较早的项大，并且序列无限制地增长。总和“分歧”，没有给出明显有意义的答案。

费曼总和的第一个项确实缩小了——这是阿尔法值很小的结果——戴森本人起初得出结论，微扰量子电磁学总体上应该是收敛的。

但随后戴森将数学和物理推理相结合，对系列的命运做出了更复杂的猜测。从数学上思考，戴森知道当x变小时，收敛幂级数收敛得更快，因为较高的项（涉及x的幂）收缩得更快。

但是当他允许x通过零时，一切都崩溃了。

原因与我们的真空有关，它不断产生带有正电荷和负电荷的瞬态纹波对。这些涟漪通常会相互吸引并消失。但是，如果阿尔法变成负数，这些涟漪就会相互推开，成为真正的粒子。粒子从无到有的持续喷发将引发宇宙熔毁，正如戴森所说，“真空的爆炸性瓦解”。

从物理上讲，任何负阿尔法都是麻烦。然而，在数学上，x的符号是无关紧要的：如果一个序列发散于一个小的负x，那么它也应该发散于一个小的正x。因此，对于一个小的正alpha（即1/17），序列也应该发散。戴森的灾难性物理状况意味着，费曼著名的量子电磁处理方式最终预测了无穷大。

问题在于，更高的项会导致费曼图数量的爆炸性增长——因子增长。这意味着计算9将需要大约9×8×7×6×5×4××2×1（约62，）图表，以及10将调用大约10×9×8×7×6×5×4××2×1（，，）图表。图中这种促成a的阶乘增长最终将击败alpha幂的缩小，并且总和将向无穷大增长。

对于大多数物理学家来说，即使是最简单的量子场论的不可避免的分歧仍然是一个抽象的问题，就像我们的太阳在十亿年左右的死亡一样。在计算——更不用说测试——甚至连该系列的第10个学期看起来都像科幻小说的时候，为什么要担心潜伏在远远超过个学期的危险呢？

但对于少数人来说，现代物理学中最容易理解的理论在技术上对你可能想问的任何问题都有无限的答案，这一事实仍然令人深感不安。“我们不知道如何模拟世界，即使在原则上，即使有无限的计算资源，”波士顿大学物理学家伊曼纽尔·卡茨（EmanuelKatz）说，他研究超越费曼图的新方法。

与此同时，在戴森开始为量子理论烦恼之前，数学家们已经对发散级数感到困惑了一个多世纪。

“发散级数是魔鬼的发明，任何论证都是可耻的，”尼尔斯·亨里克·阿贝尔（NielsHenrikAbel）在年打趣道。“在大多数情况下，结果是有效的，这是真的，但这是一件奇怪的事情。我正在寻找原因。

亚伯于次年去世，年仅26岁。但在本世纪末，亨利·庞加莱（HenriPoincaré）在理解发散级数如此滑溜溜的原因方面迈出了重要的一步：它们不是撒旦的，只是不完整。

庞加莱在挑剔一个古老的问题：三个天体如何相互绕行？他开始用扰动理论来解决这个问题，就像费曼和戴森在一个世纪后遇到量子场时所做的那样。庞加莱试图构建一个神秘的、大概复杂的函数，它使用无限长的简单单位来描述三个物体的轨迹——这个过程类似于用简单的乐高积木建造一辆汽车。希望该序列将收敛到一个有限的答案，这表明该序列是独特功能的完美表示。

最初，他以为自己成功了。年，瑞典和挪威国王奥斯卡二世授予庞加莱奖，以表彰他在著名问题上的进步。但在他的解决方案即将公布前不久，他呼吁国王停止印刷。该系列是分歧的。进一步的分析（这将为混沌理论奠定基础）表明，它匹配的不是一个，而是两个不同的功能。这是一个物理学家现在都非常熟悉的复杂情况。

“如果你感兴趣的物理问题实际上与收敛级数有关，那将是一个完整的奇迹，”圣路易斯华盛顿大学着名数学物理学家卡尔·本德（CarlBender）说。（今天，物理学家知道三个天体可以以无数种非常不同的方式相互作用，没有一个简单的方程可以包含所有的可能性。

本德将庞加莱遇到的那种发散级数比作函数的模糊视图。模糊可以容纳许多可能的功能，就像乐高汽车的块状轮廓可以匹配任何数量的跑车一样。当你将一个复杂的函数扩展成这样一个“渐近”系列时，“你已经失去了信息，”Bender说。

自庞加莱时代以来，数学家和物理学家开始意识到还有其他类型的项，那些“超越所有秩序”的项，它们甚至比最小的幂项还要小。这些“指数小”的术语可以以e的形式出现。（?1/x)，例如，它们提供丢失的信息。如果将它们包含在序列中并选择适当的“恢复”过程以使序列有限，则可以消除一些（如果不是全部）模糊。它们是区分法拉利和兰博基尼所需的纳米乐高积木。

物理学家称这些额外的术语为“非扰动”，因为它们超出了扰动理论的范围。你可以花一万亿年的时间绘制费曼图并计算a，但你永远不会了解用这些非扰动术语编码的某些物理事件。虽然这些微小术语所描述的效果可能很少见或微妙，但它们可以在现实世界中产生巨大的差异。

以量子力学的薛定谔方程为例，它描述了粒子的波状行为。这是一个复杂的方程，物理学家经常使用扰动理论来近似。尽管由此产生的无穷级数很好地预测了许多实验，但它完全忽略了一个极不可能（但并非不可能）的事件，即隧道，其中粒子基本上通过屏障传送。

隧穿是量子物理学中许多非扰动现象之一，但非扰动效应无处不在：雪花的分支生长，液体流过带孔的管道，太阳系中行星的轨道，被困在圆岛之间的波浪的涟漪，以及无数其他物理现象都是非扰动的。

“他们在那里，他们是至关重要的，”杜伦大学的物理学家DanieleDorigoni说。“仅靠扰动理论是不够的。

由于其普遍性，成群结队的数学家和物理学家已经研究了如何计算非扰动项的元问题的各个方面。到20世纪末，各种各样的研究人员开始发现诱人的暗示，即扰动系列似乎知道的比他们应该知道的更多。

在这些研究人员中，法国萨克雷核研究中心的一个小组在年代帮助开发了一种将扰动功率项与非扰动指数项相结合的方法，以获得量子力学中隧穿的精确结果。他们的技术之所以有效，是因为他们可以依靠世纪之交的一项称为博雷尔总结的关键数学技术。博雷尔求和是当时从发散级数中获取有限数的最强大的工具，但它有其局限性。它偶尔会给出错误或相互矛盾的结果，这让物理学家感到沮丧，他们希望一个系列能够正确预测一个实验的结果。

“当物理学家发现一个不是博雷尔总结的系列时，他们基本上会放弃，”马里尼奥说。

他们不知道的是，一位古怪的数学家在离萨克雷小组几英里的地方与世隔绝，已经对渐近级数的无限高的山峰进行了前所未有的探索。